解説

隣り合う2項は個ある
- $(a_1, a_2), (a_2, a_3), ...,(a_{m-1}, a_m)$ の $m-1$ 個
解説PDFにあるように、「期待値の線形性より、m-1通りそれぞれにおいて、差の絶対値がdである確率を求めて、全部足せばよい」
ある隣り合う2項の美しさを、その発生確率をとすると、ある隣り合う2項の美しさの期待値はである。
- $i=0,1$
- $x_0 = 0$
- $x_1=1$
求めたい数列の期待値は、
- $x_0=0$ より、 $E = (m-1)x_1 P_1$ となる。
- さらに $x_1=1$ より、 $E = (m-1)P_1$ となる。
なので発生確率 $P_1$ を求めればよい
隣り合う2項をと表したとき、このとの差の絶対値がである（すなわちである）発生確率を求めたい。
- のとき
  - 美しさの条件を満たすのは
    - $(1,1),(2,2),...,(n,n)$ の $n$ 通り
  - よって、発生確率 $P_1$ は $\frac{n}{n^{2}} = \frac{1}{n}$ （分母の $n^{2}$ は、aが $n$ 通り、bが $n$ 通りだから）
- のとき
  - 美しさの条件を満たすのは
    - $(1,1+d), (2, 2+d), ..., (n-d, n)$
    - $(1+d, 1), (2+d, 2), ..., (n, n-d)$
    - の $2(n-d)$ 通り
  - よって発生確率 $P_1$ は、 $\frac{2(n-d)}{n^{2}}$
これで求める期待値 $E=(m-1)P_1$ が求まった。

実装

C++での解法です。

#include <bits/stdc++.h>
#define _USE_MATH_DEFINES  // M_PI等のフラグ
#define MOD 1000000007
#define COUNTOF(array) (sizeof(array)/sizeof(array[0]))
#define rep(i,n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
#define intceil(a,b) (a+(b-1))/b
using namespace std;
using ll = long long;
using pii = pair<int,int>;
using pll = pair<long,long>;
const long long INF = LONG_LONG_MAX - 1001001001;
void chmax(int& x, int y) { x = max(x,y); }
void chmin(int& x, int y) { x = min(x,y); }


void solve() {
    // 隣り合う2項はm-1通りある
    // 2項(a,b)のa,bの絶対値の差がdである確率を求めて、(m-1)倍すればよい
    ll n, m, d; cin >> n >> m >> d;
    double ans;
    if (d==0) {
        // (1,1),...(n,n)のn通り
        ans = (double)n/pow(n,2);
        ans *= (m-1);
    }
    else {
        // (1, 1+d), (2, 2+d), ..., (n-d, n)
        // (1+d, 1), (2+d, 2), ..., (n, n-d) の2(n-d)通り
        ans = (double)2*(n-d)/pow(n,2);
        ans *= (m-1);
    }
    printf("%.10lf", ans);
}


int main() {
    solve();
    return 0;
}